大学教师资格证书可以交给小学。根据规定，取得教师资格的公民可以在各学校等教育机构担任教师，但中等职业学校实习教师资格的公民只能在中等职业学校、技术学校、职业高中或初级职业学校担任实习教师。
教师资格证书是向下兼容的，也就是说，如果你有中学教师资格证书，你可以教中学或小学。但另一方面，如果你有小学教师资格证书，你只能教小学不能教中学，这取决于每所学校的要求。
